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notion de fonction

sommaire
1. Prérequis

2. Notion de Fonctions

3. Sens de variation d’une fonction

4. Fonctions linéaires et fonctions affines

5. Algorithmique

6. Synthèse de la séquence

7. Exercices d’approfondissement


Séquence 1 – MA20 3

1 Prérequis

L’ensemble des nombres réels :
–4 –3 –2 –1 0 1 2
M
x 3 4 5 6 7 8
A tout point M d’une droite graduée, on peut faire correspondre un unique nombre
x appelé abscisse du point M. Lorsque M décrit la droite graduée, x décrit
l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble des nombres réels contient tous les nombres que vous connaissez
comme par exemple 1 ; –2 ; –0,7 ; 5/3 ; 2 , ≠ etc. et à chaque nombre que vous
connaissez correspond un unique point de la droite graduée.
L’ensemble des nombres réels est noté .
Avec un repère

–1 0
–1
–2
–3
3
2
5
y
x
Axe des
ordonnées
Axe des abscisses
4
C
1
–6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 7
D
L A
K
J
O I
F
E
B
C
On peut repérer un point par ses coordonnées dans un repère orthogonal (O, I, J).
On repère par exemple le point A sur le graphique ci-après de la façon suivante :
il existe un unique point K de la droite (OI) et un unique point L de la droite (OJ) tel que le quadrilatère
OKAL soit un rectangle.
Le nombre réel repérant le point K sur la droite graduée (OI) est appelé l’abscisse du point A. C’est donc 3.
L’axe (OI) est appelé axe des abscisses.
Le nombre réel repérant le point L sur la droite graduée (OJ) est appelé l’ordonnée du point A. C’est donc 2.
L’axe (0J) est appelé axe des ordonnées.
Le couple de nombres (3 ; 2) sont les coordonnées du point A dans l repère (O, I, J ) et on note A(3 ; 2).
On remarque que I(1 ; 0) et J(0 ; 1)
À savoir
L’abscisse de B est 5, son ordonnée est 4. Donc B (5 ; 4).
On détermine de même : C(–2 ; 5), D(–3 ; 3), E(4 ; –2), F(–1 ; –3), G(–1,5 ;3,75),
K(3 ; 0) et L(0 ; 2).
Résolution de l’équation du
premier degré ax + b = 0.
Vous avez appris à résoudre au collège des équations du type ax+b=0.
Revoyons en un exemple.
Soit à résoudre l’équation 2x+3=0.
On peut ajouter ou retrancher la même quantité aux deux membres d’une équation.
On va ici retrancher 3 aux deux membres de l’équation de façon à ne garder que
« des x » dans le membre de gauche.
Il vient donc : 2x+3−3=−3
soit 2x = −3
On peut multiplier ou diviser les deux
membres d’une équation par un même
nombre non nul.
En divisant par 2 les deux membres
de l’équation précédente, on trouve
x = −
3
2
.
Exemple
C
Exemple
Plus généralement, on retiendra le
résultat suivant :
L’équation ax+b=0 (avec a ↑ 0 )
admet pour solution x
b
a
=

Comparaison de nombres

Comparer deux nombres réels, c’est dire s’ils sont égaux ou sinon quel est le
plus grand.
a≥b si et seulement si a−b≥ 0.
ce qui se lit : a est supérieur ou égal à b si et seulement si a −b est positif ou nul.
On a aussi
aʺb si et seulement si a−b≤0.
ce qui se lit : a est inférieur ou égal à b si et seulement si a −b est négatif ou nul.
À savoir
D
Activités
Un programme de calcul
Le programme
On choisit un nombre.
On va lui appliquer le programme de calcul suivant, que nous appellerons f.
On va d’abord multiplier le nombre choisi par 2,
retrancher ensuite 6 au résultat obtenu
et enfin prendre l’inverse du résultat obtenu.
On peut résumer ainsi le programme de calcul f
× − = → → →
2 6 x−1 1/x
Choisissons par exemple le nombre 4.
4 8 2 multiplier par2 retrancher6 pr
→ →
endre l 'inverse →0,5 .
Ou plus simplement
4 8 2 05 ×2 −6 1 → → →
x − ,
On peut aussi faire le calcul à la calculatrice.
Manipulation Résultat Écran
entrer 4
*2 entrer 8
–6 entrer 2
x −1 entrer
0,5
Le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul f à un nombre
x est appelé image du nombre x par le programme de calcul f.
Par exemple, 0,5 est l’image de 4 par le programme de calcul f.
A

Activité 1

Sur CASIO GRAPH 25+
est remplacé par
et Rép est remplacé par Ans
entrer EXE
2 Notion de Fonctions

Séquence 1 – MA20 7
a) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
Nombre x –2 –1 1 2 2,5 3,5 4 5 7
Image de x
b) Combien d’images possède chaque nombre réel x du tableau précédent ?
c) Que se passe-t-il avec la calculatrice si on applique le programme de calcul f au
nombre réel 3 ? Comment peut-on expliquer l’affichage à l’écran ?
Vocabulaire et notation
On note f(x) le nombre obtenu en appliquant le programme de calcul f au
nombre x. On l’appelle image de x par f.
Par exemple, f (4) (lire « f de 4 ») est le nombre obtenu en appliquant le programme
de calcul f au nombre 4.
On a donc f (4) =0,5.
a) Que vaut f(−1),f(2,5),f(7).
b) Exprimer f (x ) en fonction de x.
On peut toujours calculer f (x ) sauf pour x = 3. Nous dirons que f est définie
sur l’ensemble D = − {3}, c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels privé de
3. On dira aussi que l’ensemble de définition de f est D = − {3}.
Remarque
L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite graduée.
3 +
8
–8 –8
vers plus
l'infini
vers moins
l'infini
deux intervalles ouverts :
l ’intervalle ouvert ]−∞;3[ à gauche de 3 qui est l’ensemble des nombres
strictement inférieurs à 3.
l’intervalle ouvert ]3;+∞[ à droite de 3 qui est l’ensemble des nombres strictement
supérieurs à 3.
On note la réunion de ces deux intervalles de la façon suivante :
D =]−∞;3[∪]3;+∞[.
Le symbole −∞ se lit « moins l’infini ».
Le symbole +∞ se lit « plus l’infini ».
Le symbole ∪ se lit « union ».
f(x) se lit « f de x » et
signifie f appliqué à x.
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8 Séquence 1 – MA20
Courbe représentative de la fonction f.
On a dessiné ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans un
repère du plan.
La droite verticale passant par le point de coordonnées (3 ; 0) signifie que le réel 3 n’a
pas d’image par la fonction f et que la courbe ne coupera jamais cette droite.
–1
–1
0 1
1
2 3 4


5 6 7 x
y
–2
a) Placer le point A de la courbe d’abscisse –2, le point B de la courbe
d’abscisse –1, le point C de la courbe d’abscisse 1, le point D de
la courbe d’abscisse 2, le point E de la courbe d’abscisse 2,5, le
point F de la courbe d’abscisse 3,5, le point G de la courbe d’abscisse
4, le point H de la courbe d’abscisse 5, le point I de la courbe
d’abscisse 7.
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Séquence 1 – MA20 9
b) Remplir alors le tableau suivant
Point A B C D E F G H I
Abscisse x –2 –1 1 2 2,5 3,5 4 5 7
Ordonnée
c) Comparer ce tableau au précédent. Que remarque-t-on ? Comment peut-on
noter l’ordonnée d’un point M de la courbe d’abscisse x ?
Un autre programme de calcul
Le programme de calcul g est donné par : g (x )=2x−1.
a) Décrire ce programme de calcul par une phrase.
b) Calculer g(1),g(−5) et g(4).
Étude de la période du pendule (voir MA20 p215-216)
Dispositif : Un poids est suspendu à un fil de longueur L. Ecartons-le de sa position
d’équilibre ; il se met alors à osciller.
On appelle T la « période » du mouvement, c’est-à-dire
le temps nécessaire pour faire un aller-retour.
T dépend de L, mais pas de la masse ni de l’amplitude.
(cette loi fut découverte par Galilée vers 1600).
La variation de T en fonction de L est représentée sur
le graphique ci-dessous (L est exprimé en mètres et T
en secondes).
0
0
T (en secondes)
L (en mètres)
0,2
0,5
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
1
1,5
2
2,5

Activité 2

R emplir la deuxième ligne du tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies au
dixième près.
L(en m) 0,1 0,2 0,4 0,5 0,8 1 1,5 1,7 1,9
T (en sec)
T2
T
L
2
Le doublement de la longueur entraîne-t-il le doublement de la période ?
La période est-elle propo rtionnelle à la longueur ?
Déterminer la longueur pour que la période soit 1 seconde, 2 secondes.
Finir de remplir le tableau. Qu’y a-t-il de remarquable sur la dernière ligne ?
Exprimer T en fonction de L en admettant le résultat constaté.
Le pendule de Foucault avait une longueur de 67 m. Quelle était sa période ?
Cours
Fonction numérique d’une variable réelle
De nombreuses situations nous amènent à établir qu’une quantité dépend d’une
autre. Nous avons vu par exemple que la période du pendule dépend de sa longueur.
Nous pouvons exprimer cela en disant aussi que la période du pendule est fonction de
sa longueur.
La formule y
x
=
−
1
2 6
définit parfaitement la valeur de y une fois que nous connaissons la
valeur du nombre réel x ( x ↑ 3 ). On dit aussi que y est fonction de x.
Nous avons vu dans les activités précédentes qu’une fonction peut être définie par :
une formule
une courbe
un tableau de données ou tableau de valeurs.
Nous allons maintenant préciser le vocabulaire relatif aux fonctions.
B
Soit f la fonction définie sur par
f (x )=x 2+5
a) Déterminer l’image par f du nombre –3, du nombre 0.
b) Quels sont les nombres réels qui ont pour image 8 par f ?
a) Pour déterminer l’image du nombre rée l−3 , il faut remplacer xx par −3 dans
l’expression de f x( ).
Comme f ()x x 2=
+5
On a donc f ()−−3 3( ) 2=
+5 1= 4.
14 est donc l’image du nombre −3 par la fonctio nf.
De manière analogue, f ()0 0
2=
+5 5= .
5 est donc l’image du nombre 0 par la fonction f.
b) Pour déterminer les nombres réels qui ont pour image 8 par ff, il faut chercher
les nombres réels xx tels que f x( ) = 8.
C’est donc résoudre dans l’équation f x( ) = 8, c ’est-à-dire x 2 +5= 8.
Cette équation équivaut à l’équation x 2 =−8 5=.3
Il existe deux nombres réels dont le carré est 3, les nombres − 3 et 3. Nous
dirons que − 3 et 3 sont de asntécédents du nombre réel 8 par la fonction f.
L’image d’un nombre réel par une fonction est unique.
Un nombre réel peut par contre peut avoir plusieurs antécédents comme dans
l’exemple donné précédemment.
Remarque
Définition
D est une partie de l’ensemble des nombres réels.
Lorsqu’à chaque nombre réel x de D, on associe un seul nombre réel y, on définit une
fonction f sur l’ensemble D.
On note f : x y ou y = f (x)
On lit fonction f qui à x associe y y égale f (x)
Si y est l’image d’un nombre réel x par
une fonction f, alors on dit que x est un
antécédent de y par la fonction f.
Vocabulaire
x est la variable : elle appartient à l’ensemble
de définition D de la fonction.
Le nombre réel f (x ) est l’image de x
par la fonction f.
Vocabulaire
Exemple
Solution
Courbe représentative
Définition
Dans un repère du plan, la courbe représentative
de la fonction f est l’ensemble
des points M(x ; y) tels que :
l’abscisse x décrit l’ensemble de définition
D.
l’ordonnée y est l’image de x par f.
Autrement dit
Un point M(x ; y) appartient à la courbe
si et seulement si :
x appartient à D et y =f(x).
–2
–1
–1 0
1
2
4
y
–4 –3 –2 1 2 x
y = f(x)
D
x
M
3

x appartient à D se note : x ∈D.
La courbe est encore l’ensemble
des points M(x ; f (x)), avec x ∈D.
Remarque
y =f (x ) est appelé équation de la
courbe .
Vocabulaire
Détermination graphiques d’images et d’antécédents
La courbe d’une fonction f
définie sur l’intervalle fermé
[−1 ; 2] (c’est-à-dire pour tout
nombre réel x compris entre –1
et 2) est représentée dans le repère
ci-contre.
a) Lire graphiquement l’image
de 1.
b) Lire graphiquement f (0)
c) C ombien le nombre 1,75 a-t-il
d’antécédents ?
d) Lire graphiquement les antécédents
de −0,25.
e) Li re graphiquement les antécédents
de 0.
Notation
Exemple
–1 0
1
2
y
x
1 2
3


a) L’image de 1 est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 1, puisque ce
point de la courbe a pour coordonnées (1;f (1)) . Notons A ce point.
Comme on peut lire que l’ordonnée de A est 0,5, on peut dire graphiquement
que l’image de 1 par la fonction f est 0,5 ou encore que f (1) = 0,5.
b) f (0) est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 0. Soit B ce point.
Comme on lit que l’ordonnée de B est –0,5, f (0)= −0,5, autrement dit, l’image
de 0 par la fonction f est –0,5.
c) On cherche les points de la courbe qui ont pour ordonnées 1,75. En traçant la
droite horizontale d’équation y = 1,75 on trouve que celle-ci ne rencontre la
courbe qu’une seule fois. 1,75 n’a donc qu’un seul antécédent par f, qui est
1,5 comme le montre le graphique ci-dessus.
d) La droite horizontale d’équation y = –0,25 rencontre la courbe en deux points
dont on peut lire les abscisses –0,5 et 0,5. Le nombre –0,25 a donc deux antécédents
par f : −0,5 et 0,5.
e) Les antécédents de 0 sont les abscis
ses des points de la courbe qui ont
pour ordonnée 0. Ce sont les abscisses
des points situés sur l’axe des abscisses
et repérés par des croix. On ne peut lire
qu’approximativement les abscisses de
ces points −0,7 et 0,7.
0 a donc deux antécédents. On lit graphiquement
que ces antécédents sont
approximativement −0,7 et 0,7.
–1 0
1
y = 1,75
y = –0,25
0,5
1,5
A
B
2
y
x
1 2
3

Les images d’un nombre réel
par une fonction f se liront
graphiquement sur l’axe des
ordonnées.
Remarque
Les antécédents d’un nombre réel
par une fonction f se liront graphiquement
sur l’axe des abscisses.
La recherche des antécédents du
nombre 0 par une fonction f revient
à la recherche des solutions
de l’équation f (x ) = 0.
Remarque
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14 Séquence 1 – MA20
Synthèse
D est une partie de l’ensemble des nombres réels.
Lorsqu’à chaque nombre réel x de D, on associe un seul nombre réel y, on définit
une fonction f sur l’ensemble D.
D →
f : x f (x)
fonction image de x par f
D est appelé ensemble de définition de la
fonction f.
L’image d’un nombre réel x par une fonction f est
unique.
D est généralement un intervalle ou une réunion
d’intervalles.
On a rencontré précédemment 3 types d’intervalles :
L ’intervalle fermé [a ; b] qui est l’ensemble des
nombres réels compris entre a et b.
1
a b
2 3 4 5 6 7
L’intervalle ouvert ]a ; +∞[ qui est l’ensemble des
nombres réels strictement supérieurs au nombre
réel a.
1
a
2 3 4 5 6 7 8
L’intervalle ouvert]–∞ ; a [ qui est l’ensemble des
nombres réels strictement inférieurs au nombre
réel a.
–8
a
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
C
–2
–1
–1 0
1
2
4
y
–4 –3 –2 1 2 x
y = f(x)
D
x
M
3

Courbe représentative d’une fonction f
définie sur l’intervalle fermé[−4;3] .
Cette courbe est l’ensemble des points
de coordonnées (x ;f (x )) .
Autrement dit, un point M(x ; y) appartient à
la courbe représentant la fonction f si et
seulement si y = f (x).
y = f (x) est appelé équation de la courbe .
Se souvenir des symboles :
−∞ « moins l’infini »
+ ° « plus l’infini »
∪ « union »
∈ « ppaartient à »
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Séquence 1 – MA20 15
Exercices d’apprentissage
Le graphique ci-contre représente
l’évolution d’une population
de bactéries (en milliers)
sur un intervalle de
temps déterminé.
Préciser dans cette situation,
la variable et la grandeur
étudiée dépendant de
cette variable.
Expliquer pourquoi on définit
bien une fonction.
Quel est l’ensemble de définition
de cette fonction ?
ABC est un triangle équilatéral de côté a (en cm).
Calculer la hauteur de ce triangle équilatéral lorsque a = 10.
De façon générale, la hauteur h dépend de a. Exprimer h en fonction de a.
Définit-on ainsi une fonction lorsqu’au côté a, on associe la hauteur h ? Dans
l’affirmative, préciser son ensemble de définition.
A la taille en cm de chacune des cinq personnes d’un groupe, on associe son
poids en kg.
Taille 170 172 172 175 180
Poids 68 72 81 72 85
Expliquer pourquoi on ne définit pas ainsi une fonction.
Dans chaque cas, afficher le nombre à l’écran de la calculatrice et taper la
succession de touches
× 2 – 3 EXE x 2 EXE
• 2 •4,2 • −3,2 •
3
5
Quelle est la fonction définie par cette succession de touches ?
Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction définie par la succession
de touches indiquée.
a) x 2 EXE ×4 +6 EXE b) x 2 EXE +6 EXE EXE
D
0
5
10
15
20
25
y
1 2 t (en heures)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Les nombres entiers naturels sont les nombres 0, 1, 2, 3, …….
L’ensemble des nombres entiers naturel est noté .
A tout entier naturel n, on associe le reste de la division de n par 3.
Quel nombre associe-t-on à 13 ? à 5 ? à 21.
A-t-on ainsi défini une fonction sur ?
x et y désignent des réels strictement positifs. Un rectangle de dimension x et y
cm a pour aire 16 cm².
Exprimer y en fonction de x.
On définit une fonction en associant à la dimension x, l’autre dimension y.
Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?
La réponse à la question est-elle changée si l’on sait de plus, que x est la
largeur du rectangle et y sa longueur ?
Soit la fonction f définie sur I = ]1 ; +∞[ par f x
x
( ) = .
−
2
1
Expliquer pourquoi f est une fonction définie sur l’intervalle I donné.
Calculer les images par f des réels
a) 8 b)
3
2
c) 1+ 3.
Le nombre 0 a-t-il un antécédent par la fonction f ? Le nombre 1 a-t-il un
antécédent par la fonction f ?
Dans chaque cas, expliquer pourquoi f n’est pas définie sur l’intervalle E donné et
proposer un intervalle I sur lequel f est définie.
E = et f x
x
( ) = .
+
1
2
E= [0 ; +∞[ et f (x )= x−1.
Pour chacun des graphiques suivants, indiquer s’il s’agit de la courbe représentative
d’une fonction en justifiant la réponse.
a) b)
0
1
1
2
2
–1
–1
–2
–2
y
x
0
1
1
2
2
–1
–1
–2
–2
y
x
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9

c) d)
0
1
1
2
2
–1
–1
–2
–2
y
x 0
1
1
2
2
–1
–1
–2
–2
y
x
f est la fonction représentée ci-dessus. Lire sur le graphique
L’ensemble de définition de f.
L’image par f de
a) –2 b) 0 c) 2 d) 5
Les nombres suivants ont-ils des antécédents par f ? Si oui, les préciser avec la
précision permise par le graphique
a) –1 b) 3 c) 1 d) 6
Exercice 10
0
1
–1
–2
–3
2
3
4
–1 1 2 3 4 5 x
y
–3 –2

La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5].
0
1
–1
2
–1 1 2 3 4 5 x
y

Parmi les points suivants, quels sont ceux dont on peut affirmer qu’ils appartiennent
à la courbe ?
O(0 ; 0) ; A(1 ; 1) ; B(2 ; 1,4) ; C(3 ; 1,7) ; D(4 ; 2) ; E(2,25 ; 1,5)
Sachant que f est définie parf (x ) = x , dire par le calcul si chacun des points
précédents appartient ou non à la courbe .
f est la fonction définie sur ]–1 ;+∞[ par f x
x
x
( ) = .
−
+
2 3
1
Dans un repère, est la courbe représentative de f.
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de :
a) avec l’axe des ordonnées
b) avec l’axe des abscisses.
Existe-t-il des points de la courbe qui ont pour ordonnée 1 ?
Exercice 11
Exercice 12
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Séquence 1 – MA20 19
Activités
Lecture graphique
On donne ci-dessous la température relevée à Rennes par une journée de printemps.
La température est fonction de l’heure de la journée où elle a été relevée.
0 5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
10 15 20 25
heure t
Degrès de
température d
30
–5 –5
0 0
5 5
10 10
15 15
20 20
RELEVÉ DE TEMPÉRATURE
a)
et 24 heures ?
b) A quelle(s) heure(s) de la journée a-t-on relevé 6° ? 8° ?
c) Quelle a été la température maximale ? A quelle heure a-t-elle était relevée ?
d) Quelle a été la température minimale ? A quelle heure a-t-elle était relevée ?
e) Sur quelle plage horaire la température a-t-elle augmenté ? Sur quelles plages
horaires a-t-elle diminué ?
f) Sur quelles plages horaire faisait-il moins de 14 degrés ?
Aire d’un rectangle
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4cm et AC = 3 cm. M est un point
qui décrit le segment [AC]. On construit le rectangle AMNP où N est un point du
segment [BC] et P un point du segment [AB].
A
Activité 1
Activité 2
3 Sens de variation
d’une fonction

Avec un logiciel de géométrie, on a placé, dans un repère, des points d’abscisse
x = AM en cm et d’ordonnée l’aire a(x ) du rectangle AMNP en cm2.
0
1
2
3
4
1 2 3
M N
P
B
A
C
a) Lorsque x =0,6, calculer MN puis l’aire du rectangle AMNP.
b) De façon plus générale, démontrer que l’aire du rectangle AMNP est égale
à 4
4
3
x − x2.
c) Avec la calculatrice, compléter avec les arrondis au dixième le tableau suivant.
x = AM (en cm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
a(x ) = aire du rectangle
AMNP en m².
d) Comment l’aire semble-t-elle varier lorsque le point M décrit le segment [AC] ?
e) Quelle paraît être la position de M pour laquelle l’aire est maximale ?
Cours
Fonction croissante, décroissante sur un intervalle I
f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative .
B
© Cned – Académie en ligne
Séquence 1 – MA20 21
–1 0
1
2
3
4
5
y
–2 2 3 x
f(u)
f(v)
–1 0 u 1 v
1
2
3
4
5
y
x
–3 –2 2 3 4
f(u)
f(v)
u 1 v
6
7
8
Définition
Dire que f est croissante sur l’intervalle
I signifie que pour tous réels u
et v de l’intervalle I, si u ʺ v , alors
f (u ) ʺ f (v ).
Définition
Dire que f est décroissante sur
l’intervalle I signifie que pour tous
réels u et v de l’intervalle I, si
u ʺ v , alors f (u ) ≥f (v ).
Remarque
Si la courbe représente une fonction f croissante
sur l’intervalle I, la courbe « monte »
pour x appartenant à I.
Une fonction croissante conserve l’ordre.
Pour tous réels u et v, f (u ) et f (v ) sont rangés
dans le même ordre que u et v.
Si la courbe représente une fonction f décroissante
sur l’intervalle I, la courbe « descend »
pour x appartenant à I.
Une fonction décroissante change l’ordre.
Pour tous réels u et v, f (u ) et f (v ) sont rangés
dans l’ordre contraire de u et v.
Si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes dans les définitions, on obtient alors celles de
fonctions strictement croissante ou strictement décroissante
Une fonction est dite monotone sur un intervalle
I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.
Vocabulaire
Maximum et minimum d’une fonction sur I
f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative .
a désigne un nombre réel de I.
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22 Séquence 1 – MA20
Définition
Dire que f (a) est le maximum
de la fonction f sur l’intervalle I,
signifie que, pour tout réel x de I,
f (x ) ʺ f (a ).
Définition
Dire que f (a) est le minimum
de la fonction f sur l’intervalle I
signifie que, pour tout réel x de I,
f (a ) ʺ f (x ).
Tableau de variation
Étudier les variations d’une fonction, c’est indiquer les
plus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante
ou décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau
de variations.
Graphiquement, on peut lire que la fonction f représentée cicontre
est croissante sur l’intervalle [–2 ; –1], décroissante sur
l’intervalle [–1 ; 1] et de nouveau croissante sur l’intervalle
[1 ; 2].
D’où le tableau de variations de la fonction f.
x –2 –1 1 2
f (x )
4 4
–1,3 –1,3
0
1
1
y
x
f(a)
f(x)
a x

–1
–1
0
1
2
4
5
y
x
f(x)
f(a)
a 1 x

–2 0
2
1
-1
3
y
–1 1 2 x
4

Les nombres de la
première ligne d’un
tableau de varia tion
se lisent surl’axe des
abscisses. Les nombres de la
seconde ligne d’un tableau de
variations
Synthèse
Fonction croissante sur l’intervalle
I
Pour tous les nombres réels u et v de
l’intervalle I,
Fonction décroissante sur
l’intervalle I
Pour tous les nombres réels u et v de
l’intervalle I,
La fonction f La fonction f
change l’ordre
Exercices d’apprentissage
a) b)
–2 0
2
1
-1
3
y
x
–4 –3 –1 1 2 3 4
4

–2 0
2
4
3
5
y
–5 –4 –3 –1 1 2 3 x

1
est la courbe représentative d’une fonction f
dans un repère.
Lire le sens de variation de f.
Dresser ensuite le tableau de variations de la fonction f.
Voici le tableau de variations d’une fonction f.
x –2 0 0,5 3 +∞
f (x )
–1
–2
0
4
Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
C
D
Exercice 13
Exercice 14
© Cned – Académie en ligne
si u ≤ v
Alors
si u ≥ v
Alors f (u ) ≥≥f (v )

La fonction f est-elle :
a) croissante sur [–2 ; 2] ? sur [0 ; 1] ?
b) décroissante sur [3 ; 10] ? sur [–2 ;1]
Donner f (0),f (−2),f (0,5).
Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f dans un repère.
Voici le tableau de variation d’une fonction h.
x –2 0 3 4
h(x ) –1
2,5
0,5
7
Comparer (au sens de l’ordre) les nombres suivants
a) h(−2) et h(−1) b) h( )
1
3
et h( )
3
2
c) h(2,6) et h(2,7) d) h( )
7
2
et h (4).
Peut-on comparer h(−1) et h(1). Pourquoi ?
Voici des tableaux de variations d’élèves. Ils ont commis des erreurs dans chacun
des tableaux de variation. Retrouver lesquelles.

x –3 7/2 3 10
h(x ) 3
2,5
0,5
7

x 0 1 2 5
f (x )
–1
–2
4/5
2
x désigne un réel de l’intervalle [0 ; 4] .
On note A(x ) l’aire de la couronne
colorée ci-contre.
a) Calculer A(2).
b) S ans faite de calcul dresser le tableau
de variation de la fonction A
sur l’intervalle [0 ; 4].
Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
x
4

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f définie sur
l’intervalle [–3 ; 5].
Lire sur cette courbe
L e maximum de f sur chacun des intervalles
:
a) [–3 ; 5] b) [– 2; 3] c)[1 ; 5]
Le minimum de f sur chacun des intervalles
a) [–3 ; 5] b) [–1 ; 4] c) [0 ; 2]
Voici le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle [–3 ; 6].
x –3 –2 1 4 6
f (x )
3
–1
1
0
0,5
Sur chaque intervalle, donner le maximum et le minimum de la fonction f et préciser
pour quelles valeurs de x ils sont obtenus.
[–3 ; 6] [–2 ; 4] [1 ; 6].
La fonction f est définie sur par f (x )=3−(x−2)2.
Calculerf (2) , puis f (x )−f (2).
En déduire que la fonction f admet un maximum que l’on précisera.
On donne ci-contre la représentation
graphique de la fonction f définie
sur par f (x )=x 2−4x .
Conjecturer le minimum de la
fonction f ; pour quelle valeur de
x semble-t-il atteint ?
Démontrer que f admet un minimum
et le déterminer.
Exercice 18
–2 0
2
1
-1
-2
y
x
–3 –1 1 2 3 4 5

Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
0
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 x
y
–1

Activités

Consommation d’essence
Un constructeur automobile annonce dans une publicité que son véhicule
consomme 6,5 litres de carburant aux 100 km.
a) Calculer la consommation pour 200 km, 500 km, 150 km, 70 km.
b) C ette voiture a parcouru x km. Exprimer en fonction de x le nombre de litres
de carburant consommés.
c) Représenter graphiquement le nombre de litres consommés en fonction du
nombre de km parcourus.
On prendra comme unité 1 cm pour 20 km sur l’axe des abscisses et 1 cm pour
10 litres d’essence sur l’axe des ordonnées.
d) Le réservoir de la voiture contient 45 litres et il est plein. Quelle distance peutelle
parcourir ?
Une facture EDF
Pour calculer le montant hors taxe d’une facture, EDF prend en compte deux éléments
: l’abonnement et la consommation. L’abonnement est de 7,70€ par mois
(quelle que soit la consommation) et pour l’autre partie, le tarif est de 0,08€ par
kWh consommé.
a) Quel est le montant annuel de l’abonnement ?
b) Calculer le montant hors taxe d’une facture EDF pour une consommation annuelle
de 1500 kWh, 2500 kWh, 0 kWh.
c) Calculer le montant hors taxe d’une facture EDF pour une consommation annuelle
de x kWh.
d) Représenter graphiquement le montant hors taxe d’une facture EDF en fonction
du nombre de kWh consommés (unités : 1 cm pour 250 kWh en abscisses
; 1 cm pour 25 € en ordonnée).
A
Activité 1
Activité 2
4 Fonctions linéaires
et fonctions affines

e) Calculer la différence entre deux factures lorsque l’écart de consommation est
de 100 kWh, 1 000 kWh, 2 000 kWh, t kWh. Qu’y a-t-il de remarquable ?
f) Calculer la consommation en kWh correspondant à une facture de 250 €.
Signe de 3x −5
a) Recopier et compléter le tableau :
x –1 0 1 3 4 5
f (x )=3x−5
–8 10
Signe de f (x )
– +
b) D ans le repère suivant, marquer les points de coordonnées (x ;f (x )) connus
par le tableau de valeurs
par des croix + s’ils correspondent au cas où f (x ) est positif.
par des points . s’ils correspondent au cas où f (x ) est négatif.
Comment sont-ils situés par rapport à l’axe des abscisses ?
c) Tracer la représentation graphique D de la fonction f.
d) Sans calcul, par lecture graphique, compléter le tableau
x –1,4 1,32 2 ≠ 11/3
Signe de f (x )
e) Sans calcul, par lecture graphique, remplacer les pointillés du tableau de signe
suivant par un signe + ou –.
x –∞
5
3 +∞
Signe de f (x ) … 0 …
Activité 3

0 1
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
–11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
–2 –1 2 3 4 5 x
Cours

Définition
Soit a un nombre réel fixé. La fonction f définie sur l’ensemble des
nombres réels par f (x ) =ax est une fonction linéaire.
Dans ce cas, les grandeurs x et f (x ) sont proportionnelles.
L’activité consommation d’essence : x étant le nombre de kilomètres parcourus et y
le nombre de litres de carburant consommés, on a vu que y = 0,065x.
La fonction f définie sur par f (x ) = 0,065x est une fonction linéaire.
Dans l’activité consommation d’essence, nous avons considéré la restriction de
cette fonction linéaire à l’intervalle [0 ; +∞[ car le nombre de kilomètres parcourus
ne peut pas être négatif

Propriété : Courbe représentative d’une fonction linéaire
La fonction linéaire f définie sur par f (x ) = ax est représentée
graphiquement par la droite d’équation y =ax. Cette droite passe
par l’origine du repère.
La fonction linéaire f définie sur par f (x ) = 0,065x est représentée par la droite
d’équation y= 0,065x.
Pour la tracer, il suffit de connaître un point de cette droite.
L’ordonnée du point de la courbe représentative de f d’abscisse 500 est f (500)
et f (500)=0,065×500=32,5.
La courbe représentative de la fonction linéaire f définie par f (x ) = 0,065x est
donc la droite passant par le point A (500 ; 32,5) et l’origine O du repère.
0 50
y = 0,065x
–10
–20
–30
10
20
30
y
–350 –300 –250 –200 –150 –100 –50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 x
A
Fonction affine
Définition
Soient a et b deux nombres réels fixés. La fonction f définie
sur par f (x )=ax+b est une fonction affine.
Si b = 0, f (x ) =ax et dans ce cas la fonction f est linéaire. Les fonctions
linéaires sont donc des cas particuliers de fonctions affines.
Si a = 0, f (x ) = b et dans ce cas la fonction f est constante. Les fonctions
constantes sont donc des cas particuliers de fonctions affines.
Remarque
Exemple

L’activité facture EDF : x désignant le nombre de kWh consommé dans l’année et
y le montant hors taxe de la facture, on a vu que y=0,08x+92,4 .
La fonction f définie sur par f (x )=0,08x+92,4 est une fonction affine.
Dans l’activité facture EDF, nous avons considéré la restriction de cette fonction à
l’intervalle [0;+∞[ car le nombre de kWh consommés ne peut pas être négatif.
La fonction affine f définie sur par f (x )=0,08x+92,4 est représentée par
la droite d’équationy=0,08x+92,4 . Pour la tracer, il suffit de connaître deux
points de cette droite.
L’ordonnée du point de la courbe représentative de f d’abscisse 0 est
f (0) =92,4.
L’ordonnée du point de la courbe représentative de f d’abscisse 1500 est
f(1500)=0,08×1500+92,4 = 212,4.
La courbe représentative de la fonction affine f définie par f (x )=0,08x+92,4
est donc la droite passant par le point A (0 ; 92,4) et le point B (1500 ; 212,4).
Exemple
Propriété : Courbe représentative d’une fonction affine
La fonction affine f définie sur par f(x)=ax+b est représentée
graphiquement par la droite d’équation y = ax+b. Cette droite
passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Exemple

Sens de variation d’une fonction affine
Propriété : Soit f une fonction affine définie sur par f(x)=ax+b avec a≠0.
a > 0
La fonction affine f
est strictement
croissante sur
a < 0
La fonction affine f
est strictement
décroissante sur
Démonstration
Soit deux nombres réel u et v tels que u < v .
Alors, en multipliant par le nombre a strictement
positif, on a au <av
Puis en ajoutant b à chaque membre de l’équation,
on a au+b<av+b.
donc f (u )<f (v ).
f est donc strictement croissante sur
Démonstration
Soit deux nombres réel u et v tels que u < v .
Alors, en multipliant par le nombre a strictement
négatif, on a au >av
Puis en ajoutant b à chaque membre de l’équation,
on a au+b >av+b.
donc f (u )>f (v ).
f est donc strictement décroissante sur
f :x 3x +5 est strictement croissante sur car a = 3 est strictement positif.
g :t −2t+1 est strictement décroissante sur car a = −2 est strictement
négatif.
Application à l’étude du signe de ax + b (a non nul), a et b fixés.
Pour étudier le signe d’une expression du type ax +b , avec a ↑ 0, on peut
d’abord résoudre l’équation ax+b=0 et utiliser la propriété ci-dessus.
Exemple

Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de l’expression 2x - 3 et vérifier les
résultats obtenus en représentant la fonction affine f définie par f (x )= 2x - 3.
Résolvons d’abord l’équation 2x−3=0.
Celle-ci est équivalente à l’équation 2x = 3 soit x= =
3
2
1,5.
La fonction affine f définie par f (x )=2x−3 est strictement croissante sur
car a = 2 et 2> 0.
On en déduit que, si x > 1,5 alors f (x ) >f (1,5) soit f (x ) > 0 soit 2x−3>0.
et, si x<1,5 alors f (x ) <f (1,5) soit f (x ) < 0 soit 2x−3<0.
On en déduit alors le signe de 2x − 3 que l’on peut consigner dans un tableau
de signes.
x –∞ 1,5 +∞
Signe de f (x )
– 0 +
Représentation graphique
Graphiquement, on constate bien que
si x< 1,5 alors la droite d’équation y=2x−3 représentant la fonction f est
au-dessous de l’axe des abscisses ce qui signifie que 2x−3<0.
si x> 1,5 alors la droite d’équation y=2x−3 représentant la fonction f est
au-dessus de l’axe des abscisses ce qui signifie que 2x−3>0.
Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de l’expression −3x+4 et vérifier les résultats
obtenus en représentant la fonction affine f définie par f (x )= −3x +4.
Résolvons d’abord l’équation −3x+4=0.
Celle-ci est équivalente à l’équation 3x = 4 soit x =
4
3
.
Exemple 1
Exemple 2

La fonction affine f définie par f (x )= −3x +4 est strictement décroissante sur
car a = −3 et −3<0.
On en déduit que, si x >
4
3
alors f (x ) <f ( )
4
3
soit f (x ) < 0 soit −3x+4<0.
et, si x<
4
3
alors f (x ) >f ( )
4
3
soit f (x ) > 0 soit−3x+4>0.
On en déduit alors le signe de −3x+4 que l’on peut consigner dans un tableau
de signes.
x –∞ 4/3 +∞
Signe de f (x )
+ 0 –
Représentation graphique
Graphiquement, on constate bien que
si x <
4
3
alors la droite d’équation y = −3x+4 représentant la fonction f est
au-dessus de l’axe des abscisses ce qui signifie que −3x+4>0.
si x >
4
3
alors la droite représentant la fonction f est au-dessous de l’axe des
abscisses ce qui signifie que –3x+4<0

Synthèse
Soit a et b deux nombres réels donnés.
La fonction f définie sur par f (x )=ax+b est une fonction affine.
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction affine f est la droite d’équationy=ax+b.
Les fonctions affines sont les seules fonctions représentées par des droites.
Variations
Si a > 0
f est strictement
croissante sur
Si a < 0
f strictement
décroissante sur
Si a = 0
f (x ) = b et f est
constante
Cas particulier important
Si b = 0, la fonction affine f définie sur par f (x ) =ax est dite linéaire.
Elle est représentée par une droite qui passe par l’origine.
La relation f (x ) =ax traduit que les quantités x et f (x ) sont proportionnelles.
Exercices d’apprentissage
Cette droite représente une fonction affine f.
Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle f (x ) = 0.
C
D
Exercice 22

Le signe de f (x ) quand x < 3 ; quand x > 3.
Recopier et compléter le tableau de signe :
x –∞ … +∞
Signe de f (x )
0
Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de l’expression −2x+5 et vérifier les
résultats obtenus en représentant la fonction affine f définie par f (x )= −2x +5.
À l’aide du graphique ci-contre, dresser sans
justifications un tableau de signe des fonctions
f, g et h définies par f (x )= −x +3,
g (x ) = 1,5x – 3, h(x )=2x+4.
Sur la figure ci-après, le segment [AB]
est de longueur 10, le triangle AMN
est équilatéral et MBCD est un carré.
Le point M est variable sur le segment
[AB]. On note x la distance AM.
On note f (x ) le périmètre du triangle
AMN et g (x ) le périmètre du carré
MBCD.
Calculer f (x ) et g (x ) .
Représenter les fonctions f et g sur
le même graphique.
Pour quelle valeur de x, f (x ) = g (x )?
Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25
D C
B
A M
N
x


Un libraire décide de réduire de 5 % le prix des livres quand il est compris entre
10€ et 50€.
Combien sera vendu un livre dont le prix était de 20€ ? 30€ ?
M ontrer que le nouveau prix du livre s’exprime en fonction de l’ancien prix x à
l’aide d’une fonction linéaire sur à l’intervalle [10 ; 50] que l’on déterminera.
Représenter graphiquement cette fonction.
Quel était le prix initial d’un livre vendu 33,25€ ?
Un vidéo-club propose deux tarifs pour la location de vidéos.
Tarif A : 4 euros pour la location de chaque vidéo ;
Tarif B : 90 euros pour l’abonnement annuel et 1 euro pour la location de chaque
vidéo.
Soit x le nombre de vidéos louées par un adhérent en un an. On note f (x ) le prix
total payé avec le tarif A et g (x ) le prix total payé avec le tarif B.
Exprimer f (x ) et g (x ) en fonction de x.
Représenter sur le même graphique les fonctions f et g (On considérera pour
cette question x nombre réel compris entre 0 et 40).
Déterminer graphiquement pour quelles valeurs de x chaque tarif est plus
intéressant que l’autre(pour l’adhérent).
On considère un ressort de longueur 6 cm. L’une des extrémités est fixée. A l’autre,
on peut suspendre des objets qui ont pour effet d’allonger le ressort. L’allongement
est proportionnel à la masse suspendue lorsque celle-ci est inférieure à 300g.
Si on suspend une masse de 50g, la longueur du ressort est alors de 6,6 cm.
Calculer sa longueur si la masse suspendue est 120g.
Soit m la masse suspendue. Exprimer en fonction de m la longueur du ressort.
Représenter graphiquement cette fonction.
Un cycliste part de son domicile pour
s’entraîner. On a représenté ci-contre
la distance parcourue en fonction de la
durée t écoulée depuis son départ.
A quelle durée correspond une graduation
sur l’axe des abscisses ?
Quelle distance totale a-t-il parcouru
? En combien de temps ?
a ) Q uelle distance a-t-il parcouru
au bout d’une heure ?
b) C alculer sa vitesse moyenne sur
cette première heure.
Exercice 26
Exercice 27
Exercice 28
Exercice 29

Quelle distance parcourt-il pendant les 30 minutes suivantes ?
Quelle est sa vitesse moyenne sur cette période ?
Que fait le cycliste entre 1 h 30 et 2 h après son départ ?
Calculer sa vitesse moyenne sur la dernière heure.
Dans ma ville, le prix à payer pour une course de taxi s’obtient en additionnant
deux nombres :
La prise en charge, qui ne dépend pas du nombre de kilomètres parcourus
le prix des kilomètres parcourus, proportionnel au nombre de kilomètres.
J’ai payé 6€ pour une course de 10 km et 9€ pour une course de 16 km. Exprimer
le prix y (en €) d’une course en fonction de la distance x (en km).

Exercice 30

Historique
Le mot algorithme est une déformation du nom du mathématicien arabe, ou plus
exactement persan Al Khwarizmi (788–850) latinisé au Moyen Âge en Algoritmi.
Le « z » est devenu « t » sous l’influence du mot grec arithmos (qu’on retrouve
aujourd’hui dans arithmétique) parce que le mot ainsi créé avait une consonance
plus mathématique !
Al Khwarizmi fut l’un des premiers à décrire les règles de manipulations sur les
nombres entiers.
Définition
Un algorithme est la liste descriptive des étapes à appliquer de
manière systématique à un objet. A l’issue de l’algorithme on obtient
encore un autre objet.
L’objectif, ici, est de décrire clairement ces étapes afin qu’après transcription, une
machine (calculatrice, ordinateur) puisse les traiter.
Partons de deux nombres a et b, cherchons à en calculer le produit. L’algorithme
est ce qu’on appelle simplement la multiplication. L’objet obtenu est
un nombre.
Lorsqu’on cherche un mot dans un dictionnaire. L’objet de départ est le mot
dont on cherche la définition. L’algorithme consiste à comparer la première
lettre du mot avec celle où le dictionnaire est ouvert puis, suivant leurs positions
relatives dans l’ordre alphabétique, à tourner les pages en avant ou
en arrière pour faire correspondre la lettre du dictionnaire avec celle du mot.
Ensuite, on applique à nouveau l’algorithme avec les deuxièmes lettres des
mots recherchés et du dictionnaire. On recommence jusqu’à obtenir le mot
recherché. L’objet qu’on obtient à partir de cet algorithme est la définition du
mot recherché.
O n peut aussi faire un parallèle culinaire : un algorithme est une recette de
cuisine. Les objets dont on part sont les ingrédients, l’algorithme est la recette.
L’objet obtenu est le plat.
A
Exemple

5 Algorithmique

Vocabulaire – Tableau
de fonctionnement
Entrées - Sorties
On constate que les objets de départ et ceux obtenus peuvent être de natures
différentes (mot / définition, couple de nombres (a, b) / nombrea ×b , ingrédients /
plat). On utilise le vocabulaire suivant.
Définition
Dans un algorithme, l’objet de départ s’appelle l’entrée. L’objet
obtenu s’appelle la sortie.
Reprenons les exemples précédents.
P our la multiplication de deux nombres a et b, l’entrée est le couple (a, b) et
la sortie le nombre a ×b.
Pour la recherche d’une définition dans le dictionnaire, l’entrée est le mot et
la sortie la définition.
Pour la recette de cuisine, l’entrée est l’ensemble des ingrédients et la sortie
le plat.
Variables (Type – Affectations)
L’algorithme de recherche de la définition d’un mot dans le dictionnaire consiste
à comparer la lettre du dictionnaire, d’abord avec la 1re lettre du mot, puis avec
la 2e lettre, puis avec la 3e lettre, etc.
Autrement dit, au cours du déroulement de l’algorithme la lettre à laquelle on
s’intéresse change. C’est ce qu’on appelle une variable.
Définition
Une variable correspond à une case à certains endroits de la
mémoire de la machine (calculatrice, ordinateur).
Dans l’algorithme de multiplication de deux nombres a et b, on peut utiliser
des variables appelées a et b. Celles-ci peuvent par exemple être du type entier
ou du type réel suivant les besoins du problème. On peut envisager de
regrouper les deux variables du type entier en une seule variable appelée L
sous la forme d’une liste notée (a, b). Les éléments de la liste seront alors à
leur tour des entiers, des réels selon les besoins du problème.
B
Exemple
Exemple

Dans l’exemple du dictionnaire, appelons LaLettre la lettre qui change. LaLettre
est une variable. Lors de la recherche de la définition du mot EPIPHORE, au
cours du déroulement de l’algorithme la variable LaLettre va successivement
être égale à E, puis à P, puis à I, puis à P, puis à H, etc. On dit que les affectations
de la variable LaLettre sont successivement E puis P puis I, puis P,
etc. On dit aussi qu’on affecte la valeur E, puis la valeur P, etc. (le mot valeur
est à prendre au sens large) à la variable LaLettre. La variable LaLettre est un
caractère (une lettre de l’alphabet). On dit que le type de la variable LaLettre
est le caractère. Le mot dont on cherche la définition lui aussi peut changer.
On pourra utiliser une variable appelée LeMot de type chaîne de caractères
pour « mémoriser » ce mot.
Nous aurons besoin plus tard dans ce cours, du type booléen. Une variable
est du type booléen lorsqu’on peut lui affecter deux valeurs seulement. Ces
valeurs sont notées VRAI et FAUX.
Résumons
Définition
Le type d’une variable définit sa nature. On utilise couramment les
types: entier, réel, chaine de caractères, booléen.
Affecter quelque chose à une variable c’est recopier dans son
contenu une valeur qui respecte son type.
On peut regrouper plusieurs variables à l’aide d’un même nom sous
la forme d’une liste.
Dans un algorithme, lorsqu’on rencontre la phrase
« DANS a, METTRE le nombre 4 »
ceci signifie que
– la variable a est, par exemple, du type entier ou réel
– la valeur entière 4 est affectée à cette variable.

Tableau de fonctionnement d’un algorithme
S
Définition
Le tableau de fonctionnement d’un algorithme décrit, à chaque étape
de l’algorithme, le contenu des variables (une colonne par variable).
Écrivons l’algorithme de multiplication de deux entiers :
ENTRER a et b
DANS c, METTRE a ×b
AFFICHER c
Exemples
Exemple
sur un exemple : prenons a = 7 et b = 5.
A chacune des trois étapes de l’algorithme, précisons le contenu des variables a,
b et c. Rassemblons le tout dans un tableau de fonctionnement :
a b c
Entrée 7 5
Traitement 7 5 35
Sortie 35
On s’intéresse à l’algorithme suivant :
ENTRER a et b
DANS a, METTRE b
DANS b, METTRE a
AFFICHER a et b
Compléter les tableaux de fonctionnement de cet algorithme :
a b a b
Entrée 11 4 Entrée – 9 12
Traitement Traitement
Sortie Sortie
a) C ompléter l’algorithme suivant agissant sur les variables a et b de telle
sorte que le contenu de la variable a en sortie soit égal au contenu de la
variable b en entrée et le contenu de la variable b en sortie soit égal au
contenu de la variable a en entrée.
ENTRER a et b (1)
DANS c METTRE … (2)
DANS … METTRE … (3)
DANS … METTRE … (4)
AFFICHER a et b (5)
b) Faire fonctionner l’algorithme complété et remplir le tableau de fonctionnement
suivant:
a b c
13 7
Traitement
Sortie
Exemple 1

L’affectation d’une nouvelle valeur efface l’ancienne valeur et recopie la nouvelle
valeur.
a b a b
Entrée 11 4 Entrée – 9 12
Traitement
4 4
Traitement
12 12
4 4 12 12
Sortie 4 4 Sortie 12 12
(1) On met le contenu de b(4) dans a.
(2) On met le contenu de a(4) dans b.
a) Nous allons affecter à la variable a le contenu de la variable
b (à l’étape 3) puis le contenu de la variable a à la variable b (à
l’étape 4). Mais l’étape 3 va effacer le contenu de la variable a. Il faut
donc auparavant soigneusement copier le contenu en entrée de la variable
a. C’est ce que nous faisons à l’étape 2 en affectant le contenu
de a à la variable c.
ENTRER a et b (1)
DANS c METTRE a (2)
DANS a METTRE b (3)
DANS b METTRE c (4)
AFFICHER a et b (5)
b) F aisons fonctionner l’algorithme complété avec les valeurs a = 13 et b =
7 en entrée :
a b c
13 7
Traitement
13 7 13
7 7 13
7 13 13
Sortie 7 13
Nous verrons en exercice une astuce de calcul qui permet, pour cet exemple,
d’éviter le recours à la variable supplémentaire c.
Réponses
Exercices d’apprentissage
Faire fonctionner l’algorithme suivant
ENTRER x
DANS a METTRE 1 – x
DANS x METTRE 1 – a
DANS x METTRE x + a
DANS a METTRE a + x
AFFICHER a
sur x = 3 puis sur x = –1 et enfin sur x = K.
Compléter l’algorithme suivant afin qu’en sortie le contenu des entrées a et b
soit échangé.
ENTRER a et b
DANS a METTRE a + b
DANS b METTRE a – b
DANS a METTRE …
AFFICHER a et b
L’expressionf (x ) d’une fonction f peut s’obtenir en faisant opérer un algorithme
dans lequel l’entrée est le nombre réel x et la sortie la valeurf (x ) .
Soitf (x ) = 2x . Cette expression est obtenue à l’aide de l’algorithme
ENTRER x
DANS c METTRE 2×x
AFFICHER c
Appuyez-vous sur l’exemple précédent pour qu’à l’issue de l’algorithme suivant
soit affiché l’expressionf (x )=2x+3.
ENTRER …
DANS c METTRE … ou directement :
DANS d METTRE … DANS d METTRE …
AFFICHER d
On considère l’algorithme dont les tâches sont définies de la manière suivante
Entrée
X réel
Traitement
Prendre l’opposé de X
Puis Ajouter 4
Sortie
Afficher le résultat
C
Exercice 31
Exercice 32
Exercice 3

Compléter l’algorithme suivant afin qu’il respecte la succession d’instructions
ci-dessus (une seule opération par étape).
ENTRER …
DANS c METTRE …
DANS d METTRE …
AFFICHER …
On considère l’algorithme effectuant les tâches suivantes
Entrée
X réel
Traitement
Dans A mettre X+1
Dans B mettre A^2
Dans C mettre B–1
Sortie
Afficher C
On note f la fonction définie sur et qui à un réel X associe la valeur C obtenue
à la sortie de l’algorithme.
Déterminer parmi les expressions suivantes, celle qui détermine f.
a) f (x )=x 2+2x b) f (x ) = x 2 c) f (x )=x 2−2x+2.

Généralités
D est une partie de l’ensemble
des nombres réels.
Lorsqu’à chaque nombre réel x
de D, on associe un seul nombre
réel y, on définit une fonction f
sur l’ensemble D.
D →
f : x f (x)
fonction image de x par f
D est appelé ensemble de définition
de la fonction f.
L’image d’un nombre réel x par
une fonction f est unique.
D est généralement un intervalle
ou une réunion d’intervalles.
On a rencontré pour l’instant 3 types
d’intervalles :
L’intervalle fermé [a ; b] qui est
l’ensemble des nombres réels
compris entre a et b.
1
a b
2 3 4 5 6 7
L’intervalle ouvert ]a ; +∞[ qui est l’ensemble des nombres réels strictement
supérieurs au nombre réel a.
1
a
2 3 4 5 6 7 8
L’intervalle ouvert]–∞ ; a [ qui est l’ensemble des nombres réels strictement
inférieurs au nombre réel a.
–8
a
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–2
–1
–1 0
1
2
4
y
–4 –3 –2 1 2 x
y = f(x)
D
x
M
3

Courbe représentative d’une
fonction f définie sur l’intervalle
fermé[−4;3] .
Cette courbe est l’ensemble
des points de coordonnées
(x ;f (x )).
Autrement dit, un point M(x ; y)
appartient à la courbe représentant
la fonction f si et seulement
si y = f (x).
y = f (x) est appelé équation de la
courbe
6 Synthèse
de la séquence
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46 Séquence 1 – MA20
Variations
Fonction croissante sur l’intervalle I
Pour tous les nombres réels u et v de l’intervalle
I,
si u ʺ v
Alors f (u ) ʺ f (v )
La fonction f
conserve l’ordre
Fonction décroissante sur l’intervalle I
Pour tous les nombres réels u et v de l’intervalle
I,
si u ʺ v
Alors f (u ) ≥f (v )
La fonction f
change l’ordre
–1 0
1
2
3
4
5
y
x
–3 –2 2 3 4
f(u)
f(v)
u 1 v
6
7
8
–1 0
1
2
3
4
5
y
–2 2 3 x
f(u)
f(v)
u 1 v
0
1
1
y
x
f(a)
f(x)
a x

La courbe « monte » lorsque x décrit I de
gauche à droite.
Dire que f(a) est le maximum de la fonction f
sur l’intervalle I, signifie que,
pour tout réel x de I, f (x ) ʺ f (a ).
La courbe « descend » lorsque x décrit I de
gauche à droite.
Dire que f(a) est le minimum de la fonction f
sur l’intervalle I signifie que,
Pour tout réel x de I,f (a ) ʺ f (x ).
–1
–1
0
1
2
4
5
y
x
f(x)
f(a)


Fonctions linéaires et affines
Soit a et b deux nombres réels donnés.
La fonction f définie sur par f (x )=ax+b est une fonction affine.
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction affine f est la droite d’équation y=ax+b.
Les fonctions affines sont les seules fonctions représentées par des droites.
Variations
Si a > 0 Si a < 0 Si a = 0
f est strictement croissante sur f strictement décroissante sur f (x ) = b et f est constante
Cas particulier important
Si b = 0, la fonction affine f définie sur par f (x ) =ax est
dite linéaire.
Elle est représentée par une droite qui passe par l’origine.
La relation f (x ) =ax traduit que les quantités x et f (x ) sont
proportionnelles.

(x ) = x + 1
Calculer f a f a f
a
( ) ; ( 2 ) ; ( ) ; f (a ) ; f ( a ) ; f
Soit la fonction f définie sur
1
* par f
x
+1 5−3 (
Un agriculteur souhaite construire un enclos rectangulaire. Il dispose d’un rouleau
de grillage de 40 m.
On note x et y les dimensions de l’enclos réalisé en utilisant la totalité du grillage
pour clôturer l’enclos.
a) D éterminer le périmètre et l’aire du rectangle en fonction de x et y. Quelle
relation lie x et y ?
b) En déduire que l’expression de l’aire de l’enclos en fonction de x est
S (x )=x (20−x )?
Dans un repère (A, I, J) (unités : 0,5 cm sur chaque axe), on définit les points
B(x ; 0), C(0 ; y) et D(x ; y).
a) Placer les points B, C, D correspondant à trois valeurs différentes de x (x = 5 ;
x = 10 ; x = 16).
b) Justifier que les points D sont situés sur une droite que l’on tracera.
c) Remplir le tableau de valeurs suivant
x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S (x )
d) T racer la courbe de la fonction S dans un autre repère (unités : 0,5 cm sur l’axe
des abscisses, 0,1 cm sur l’axe des ordonnées). Que remarquez-vous ?
a) Placer sur le graphique du d) le point D correspondant à l’enclos qui aura
l’aire la plus grande.
b) Lire les dimensions de cet enclos.
Le tableau ci-dessous indique pour chacune des six planètes connues du temps
de Képler :
sa période de révolution T en années autour du Soleil ;
sa distance moyenne a au soleil, l’unité étant la distance moyenne de la Terre
au soleil.
Exercice I
Exercice II
Exercice III
7 Exercices
d’approfondissement
Planète T a
Mercure 0,24 0,39
Vénus 0,62 0,72
Terre 1 1
Mars 1,88 1,52
Jupiter 11,86 5,2
Saturne 29,46 9,54
Conjecturer (c’est-à-dire essayer de deviner) une relation entre a3 et T2 (Képler
publia cette formule en 1619).
La période de la planète Uranus est de 84 ans. A l’aide de la relation précédente,
calculer la distance moyenne de cette planète au soleil.
ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que : AB= 6 cm et CD ʺ AB.
On note b la longueur CD, h la hauteur du trapèze( en cm) et A son aire( en cm²).
Exprimer l’aire A en fonction de b et h.
Dans chacun des cas
suivants, construire
un trapèze vérifiant
les conditions données
et calculer A.
a) b = 2 et h = 5.
b) b = 3,5 et h = 4 ;
c) b = 5,2 et h = 3,5.
A quels intervalles I et J doivent appartenir b et h ?
A chaque couple (b ; h ) avec b dans I et h dans J, on associe une valeur unique
de l’aire A du
trapèze ; on définit ainsi une fonction f à deux variables :
f : (b ; h ) A.
a) Calculerf (2;3) , c’est-à-dire l’aire du trapèze de base b = 2 et de hauteur
h = 3. Calculer de même :
f(2;4),f(4;3,6),f(5;3,6).
b) On pose h = 2.
Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction qui à b associe A.
c) On pose b = 4.
Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction qui à h associe A.
Exercice IV
D C
A 6 cm B
h

Le directeur d’un cirque sait que le nombre de spectateurs par séance est fonction
du prix de la place ; il veut fixer ce prix à un nombre entier d’euros et s’assurer
une recette maximale. Il sait qu’il reçoit en moyenne 500 spectateurs par séance
lorsque le prix de la place est fixé à 19€. Mais, à chaque fois qu’il baisse le prix
de la place de 1€, il a 80 spectateurs de plus.
Lequel des deux graphiques suivants représente le mieux la recette en fonction
de la baisse du prix ?
0
0
2000
5 10 15 20
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0
0
2000
5 10 15 20
4000
6000
8000
10000
12000
14000

recette maximale.
Soit n le nombre d’euros dont le prix baisse.
a) Quelles sont les valeurs que peut prendre n ?
b) Montrer que la recette est (19−n)×(500+80×n).
c) Déterminer s’il faut baisser le prix de 6 ou de 7 euros pour avoir une
meilleure recette ?
a est un nombre réel strictement positif.
Quel est l’aire de ce rectangle
Exprimer son périmètre P en fonction de a.
Démontre queP
a
a
− =
− 4
2( 1)2
.
Quel est le signe de P – 4 ?
Quel est le périmètre dans le cas où a = 1 ?
Quel est le plus petit périmètre possible pour un tel rectangle ?
Exercice V
Exercice VI
1
a
a
A B
D C
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Séquence 1 – MA20 51
Deux villes A et B sont distinctes de 300 km.
Au même instant :
Un automobiliste part de A et se dirige vers B ; sa voiture consomme 8L au 100 km.
Un automobiliste part de B et se dirige vers A ; sa voiture consomme 12L aux
100km.
Ces deux voitures se croisent en un point M situé à x km de A.
Exprimer en fonction de x les volumes f (x ) et g (x ) d’essence( en L) consommés
par chacune des deux voitures pour arriver en M.
a) Sur quel intervalle f et g sont-elles définies ?
b) Dans un même repère, tracer les courbes représentatives de f et g.
Trouver la position du point M pour que les quantités d’essence soient égales :
a) graphiquement
b) par le calcul.
À l’issue de la correction des copies d’un examen, le jury décide de remonter les
notes. Il va procéder de manière suivante :
Si la note obtenue est comprise entre 0 et 12, elle sera multipliée par un certain
nombre de sorte que la note 12 sera remplacé par 15.
Pour les autres notes, on appliquera une fonction affine telle que la note 12 sera
remplacée par la note 15 et les candidats qui auront obtenu 20 auront leur note
inchangée.
Représenter graphiquement les nouvelles notes en fonction des notes initiales.
Déterminer les fonctions qui permettent de transformer les notes dans les
deux cas.
Calculer les notes attribuées après transformation lorsque les candidats ont
obtenu les notes : 4, 10, 16 , 18.
Calculer la note initiale lorsque la note finale est 10, 15, 5, 18.
Lorsque la note est comprise entre 0 et 12 avant transformation, exprimer sa
hausse en pourcentage.
Dans un pays imaginaire, le revenu imposable est désigné par R en euros.
Si R < 4 000 €, il n’y a pas d’impôt.
Pour la tranche de revenu comprise entre 4000 € et 8000 €, l’impôt à payer est
de 7,5 % sur la partie de revenu qui dépasse 4000 €.
S i 8 000 < R < 14 000, on paie déjà 7,5 % de 8 000 – 4 000 soit 4 000 €, puis
21 % sur ce qui dépasse 8 000 €.
Si R est compris entre 14 000 et 23 000, on paie déjà 7,5 % sur 4 000, puis 21 %
sur 14000 – 8000 soit 6 000 € et enfin 31 % sur ce qui dépasse 14 000 €.
Exercice VII
Exercice VIII
Exercice

Calculer l’impôt à payer pour un revenu de 5000€, de 10 000€, de 20 000€.
Déterminer en fonction de R l’impôt à payer si :
a) 4 000 ʺ R ʺ 8 000 b) 8 000 < R < 14 000 c) 14 000 ʺ R ʺ 23 000
Soit f la fonction qui au revenu R fait correspondre l’impôt f (R ) à payer pour
0 ʺ R ʺ 23 000 .
Donner une représentation graphique de f.
Deux gares G et G’ sont distantes de 300 km.
Au même instant :
un train part de G et se dirige vers G’ à la vitesse constante de 80 km/h
un train part de G’ et se dirige vers G à la vitesse constante de 120 km/h
Super hirondelle part de G et vole vers G’ le long de la voie ferrée à la vitesse
constante de 240 km/h.
Quand elle rencontre le train venant de G’, elle fait demi-tour et repart vers G ;
Elle vole ainsi d’un train à l’autre jusqu’à ce que les deux trains se croisent.
Quelle distance parcourt Super hirondelle ?
Donner un algorithme dont l’entrée est un nombre réel a et la sortie le nombre
réel b égal à(a−1)2+9 . A chaque étape il ne devra pas y avoir plus d’une opération
à choisir parmi+,−,÷,× .
On considère l’algorithme suivant.
Entrée
A, B entiers naturels (B non nul)
Traitement
DANS C METTRE
A
B
DANS F METTRE 1 – C
Sortie
Afficher F
Faire fonctionner l’algorithme pour :
a) A = 5 et B = 8 b) A = 1 et B = 10
On notef (a ;b ) la valeur de F obtenue en sortie de l’algorithme pour A = a
et B = b.
Calculer pour tout réel non nul x,
a)f (1;x ) b)f(1;f (1;x )) c) f(1;f(1;f (1;x )))
Exercice X
Exercice XI
Exercice XII


MERCI de votre comprehension